块代扣攻击理论上成立，但实际应用时往往得不偿失

本文是针对《比特币和博弈论：块代扣攻击理论上是成立的？》一文的补充，原文只考虑了两个矿池的情况。此时扣块攻击必定成立，只要发起攻击则必有收益。但实际应用场景下，多个矿池并存，本文补充上在多矿池和任意算力比例下的扣块攻击收益公式，根据该公式可知，多矿池存在下，所有未被攻击到的矿池均可坐收渔翁之利。而攻击者稍有计算失误，扣块攻击就会得不偿失。

结论是：只要全网的矿池足够分散，对于扣块攻击没有必要太在意。

原理：

当攻击发生时，必存在三种矿池A、B、C。其中A代表攻击者矿池；B代表被攻击的矿池（可以是多个）；C代表未被攻击的矿池。假设各类矿池所占的算力比例分别为a, b, c。

当攻击发生前，三种矿池的收益分别为 a/100, b/100, c/100;
若A拿出比例为x的算力进行攻击，此时，无论A和B矿池的收益发生什么变化，C的收益将变为C／（100-X），必大于原有收益。(所以C会乐于有人发起扣块攻击，只要攻击的不是他就行）；

而A则必须谨慎计算x的取值：
因为攻击发生后，A的收益将变为（a-x)/(100-x) + x/(b+x) * b/(100-x)，要想使攻击获利，则A的收益必须要大于原有的收益a/100才行。
即：必须保证 （a-x)/(100-x) + x/(b+x) * b/(100-x) > a / 100

令f(x) = （a-x)/(100-x) + x/(b+x) * b/(100-x) – a / 100

盈亏平衡点为 f(x) = 0
解这个二元一次方程方程可知，x 的取值范围必须在 [0，ab/(100-a)］才行。
对f(x)求导，可知当x = ab/ 2(100-a)时，攻击者可以获得最大收益。

计算公式：

使扣块攻击盈利的攻击算力取值范围：0 < x  < ab/(100-a);

扣块攻击最大收益点的攻击算力：x = ab/2（100-a);

其中，a为攻击者算力占全网的比例；b为被攻击者的算力比例；x为攻击者用于攻击的算力占全网的比例。 0 < (a + b) < 100,  0< x < a, a > 0, b > 0

示例：

以a = 30, b = 30, c = 40为例，
当且仅当x < 90/7 = 12.85时，攻击者A才可获利，当x = 90 /14时，收益最大化，A的收益率由原来的30%变为30.85%，提高了0.85个百分点；B则变为26.4%, 下降了3.6个百分点，而C在什么也没做的情况下，收益率变为42.75，提高了2.75个百分点。

当B发现被攻击时，可以考虑的策略之一是：将算力转移到其他矿池，只要使攻击的算力大于上述的阈值（比如迁出2/3的算力），则可以让攻击者自食其果，其他所有矿池都会收益。

文/chehw

2015.3.23

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