从 ECDSA 到 Schnorr 到 BLS,一部加密货币签名算法进化史

BLS 签名算法是一种可以实现签名聚合和密钥聚合的算法(即可以将多个密钥聚合成一把密钥,将多个签名聚合成一个签名)。在以太坊未来的 Casper 实现中,有非常多的验证者都要对区块签名,要保证系统的安全性,同时节约存储空间,就需要用到这类签名聚合的算法。

原文标题:《干货:理解 BLS 签名算法》
作者:Stepan
翻译 & 校对:wuwei & 阿剑

之前的文章中,我介绍了 Schnorr 签名算法和它的优势。现在,我来介绍下 BLS (Boneh-Lynn-Shacham)签名算法以及它相比 Schnorr 的优胜之处。

长话短说,我们已经知道:

ECDSA 签名算法已经足够胜任它的工作,但也仅限于此。它无法做签名聚合或者密钥聚合,因此只能挨个对签名进行验证。在验证多重签名的交易时,此举过于繁琐,我们需要逐个验证所有的签名及其对应的公钥,耗费大量的区块空间和交易费。

Schnorr 签名算法就好多了,它可以把一笔交易中的所有签名和公钥合并成单个签名和公钥,且合并过程不可见(无从追溯这个签名或公钥是否通过合并而来)。另外,可以一次性对合并后的签名做验证,加快了区块验证的速度。当然,该算法也有一些不足 :

  • 多重签名需要多次(签名者之间的)通信,这对冷钱包来说过于麻烦;
  • 聚合签名算法依赖随机数生成器,而不像 ECDSA 那样可以使用指定的随机点(R);
  • m-n 多重签名机制比较取巧,需要构建公钥的默克尔树。当 m 和 n 较大时,树所占空间会相当大;
  • 无法把一个区块中的所有签名聚合成一个签名。

BLS 签名算法可以解决以上问题。它不需要随机数生成器,可以将区块中的所有签名聚合成一个,容易实现 m-n 多重签名,也可以避免签名者之间的多余通信。除此之外,BLS 签名的长度更短(签名为椭圆曲线上的一个点而非两个),是 Schnorr 或 ECDSA 的 2 分之一。听起来完美!那么让我们看看 BLS 签名算法的工作原理。

BLS 签名算法的魔力

进入正题前,我们先来了解两个基础概念,曲线哈希(hashingto the curve,或译作 “哈希成曲线上的点”)和曲线配对(curves pairing)。

曲线哈希

在 ECDSA 和 Schnorr 签名算法中,我们对消息进行哈希计算后,结果(哈希值)是数字。BLS 签名算法则不同,它略微修改了哈希算法,结果对应到椭圆曲线上(的一个点)。最简单的修改是:哈希函数保持不变,将得到的哈希值作为点的 x 值寻找椭圆曲线上的对应点。通常来说(比如比特币所用的曲线),椭圆曲线有 2²⁵⁶ 个点,而 SHA-256 哈希算法的值也恰好是 256 位。不过,一个有效的 x 坐标,会对应一正一负两个 y 坐标(因为(x, y)和(x, -y)都是曲线y²=x³+ax+b上的点)。换句话说,新的哈希算法大约有 50% 的概率在曲线上找到 2 个对应点,另 50% 的概率则一个点也找不到(校对注:因为椭圆曲线只有 2^256 个点,如果要让每个哈希值都能找到对应点,椭圆曲线得有 2^257 个点才行)。

从 ECDSA 到 Schnorr 到 BLS,一部加密货币签名算法进化史

以在模为 23 的有限域上定义的椭圆曲线 y²=x³+7为例。只有一半的 x 坐标在曲线上能找到对应点。此例中,我们尝试三次才成功找到对应点。

对消息求哈希时,为确保能在曲线上找到对应的点,可以在消息体后附加一个数,若(寻找对应点)失败则累加该数并重新计算。即如果hash(m||0)没有找到对应点,则持续尝试 hash(m||1)\, hash(m||2)等,直到找到为止。当找到对应点后,在 2 个点中选择 y 坐标较小的那个作为结果即可。

曲线配对

我们还需要一个特殊的函数,能够把一条(或 2 条不同的)曲线上的两个点 PQ映射为一个数:

e(P, Q) → n

此函数还要有一个重要的特性。即对于未知数 x 和两个点 P 、 Q ,无论哪个点乘以 x,结果相同,即:

e(x*P\, Q) = e(P\, x*Q)

如此,除了乘数交换仍能保持等式成立外,更进一步,以下所有的交换都要保持等式成立:

e(a*P\, b*Q) = e(P\, ab*Q) = e(ab*P\, Q) = e(P\, Q)^(ab)

我不准备解释这个函数是如何工作的。背后的数学原理相当复杂,如果你想知道所有 “令人厌烦”的细节,我建议你参考这篇文章。如果你还想深入,可以研读这篇论文,它通篇讲述配对(pairings)理论。当前,我们只要假设这种函数存在,并且不会暴露 x 的任何相关信息。

值得注意的是,配对函数中不能使用任何椭圆曲线(特别是比特币的 secp256k1 椭圆曲线)。我们必须使用非常特殊的曲线(通常出自易于配对的曲线簇),才能保证函数的效率和安全。

BLS 签名方案

现在,所有构建BLS签名算法的基础知识已经齐备。我们用pk 代表私钥,P = pk*G 代表公钥,m代表要签名的消息。

为了计算签名,先对消息求曲线哈希 H(m),再将获取的结果(曲线坐标点)乘以私钥即可:S = pk*H(m)。大功告成!不需要随机数,不需要额外的步骤,仅仅将哈希结果乘以私钥即可。签名结果是一个曲线上的点,用压缩的序列化格式保存,只占 33 个字节。

从 ECDSA 到 Schnorr 到 BLS,一部加密货币签名算法进化史生成 BLS 签名,将消息的哈希结果乘以私钥即可

我们可以使用公钥 P 来验证签名,即 e(P, H(m)) = e(G, S) 。这是为什么呢?

如前所述,配对函数的特性使得如下等式成立:

e(P\, H(m)) = e(pk*G\, H(m)) = e(G\, pk*H(m)) = e(G\, S)

从 ECDSA 到 Schnorr 到 BLS,一部加密货币签名算法进化史BLS 签名验证,我们只需验证 公钥和消息的哈希值(曲线上两个点)与曲线生成点和签名(曲线上另两个点)是否映射到同一个数(若是则说明这是一个有效的 BLS 签名)

这个签名方案优美简单。对于比特币来说,该方案还有以下更棒的特性。

签名聚合

现在让我们把区块中的签名都聚合在一起。假设一个区块中有 1000 笔交易,每笔交易都由Si(签名),Pi(公钥)和 mi(消息)组成(i在这里表示序号)。如果这些签名可以被合并,那又何必分开保存呢?毕竟,我们只关心区块中所有的签名(而不是每一个)是否正确。为获得聚合签名,只需要将区块中的所有签名加起来:

S = S1 + S2 +…+ S1000

为验证该区块是否正确,我们需要保证以下等式成立:

e(G, S) = e(P1, H(m1)) * e(P2, H(m2)) e(P1000, H(m1000))

如果签名都有效,那么该等式的确是成立的:

e(G\, S) = e(G\, S1+S2+…+S1000) = e(G\, S1) × e(G\, S2) *…* e(G\, S1000) = e(G\, pk1×H(m1)) *…* e(G\, pk1000×H(m1000)) = e(pk1×G\, H(m1)) *…* e(pk1000×G\, H(m1000)) = e(P1\, H(m1)) × e(P2\, H(m2)) *…* e(P1000\, H(m1000))

这里我们仍需用到所有的公钥,并计算 1001 次配对函数,好处是,区块中的签名只占 33 字节了。签名聚合可以由矿工在挖矿时完成,节省大量的区块空间。

密钥聚合和 n-n 多重签名

使用多重签名的地址时,我们会对同一笔交易用不同的密钥进行签名。这种情况下,可以和 Schnorr 算法一样使用聚合密钥,把所有密钥和签名聚合成单个公钥和签名。下面我们以 3-3 多重签名方案为例(同理可推导任意数量的多重签名方案)。

一种简单的聚合方法,是把所有的签名和密钥加起来即可。如此,签名聚合结果为S=S1+S2+S3,密钥聚合结果P=P1+P2+P3。可以验证以下等式依然成立:

e(G, S) = e(P, H(m))

因为:

e(G, S) = e(G, S1+S2+S3) = e(G, (pk1+pk2+pk3)×H(m)) = e((pk1+pk2+pk3)×G, H(m)) = e(P1+P2+P3, H(m)) = e(P, H(m))

和 Schnorr 一样,我们也需要杜绝伪造密钥攻击。一种方法是要求每个签名参与者证明它拥有公钥对应的私钥(用私钥给公钥签名)。另一种方法是加入非线性系数,使得攻击无法实施。要做到这一点,聚合不再是简单的将多个密钥和签名相加,而是将它们分别乘以某个系数后再相加:

S = a1×S1+a2×S2+a3×S3

P = a1×P1+a2×P2+a3×P3

公式中签名和密钥的系数,可以通过签名者以及其它所有人的公钥计算得出,公式如下:

ai = hash(Pi, {P1,P2,P3})

举个例子,可以简单的将签名者的公钥和所有人公钥拼接在一起算出系数:

ai = hash(Pi||P1||P2||P3)

此时,上面的验证公式依然成立。虽然多了系数ai,但计算逻辑未变。

该方案的好处是,无需在设备间进行多轮通信,只需知晓其它签名者的相应信息即可。它可比 Schnorr 算法(需要 3 轮通信)的多重签名方案简单多了。这个方案也不依赖随机性,是一种具有完全确定性的签名算法。

子群多重签名方案(m-n 多重签名)

n-n 多重签名并不常见,我们更倾向使用 m-n 多重签名(比如 2-3 多重签名)。我们不想因为丢失(n 个密钥中的)一个密钥而一无所有。密钥聚合非常适合这种场景。在 Schnorr 签名算法中,我们用公钥组成的默克尔树来实现密钥聚合,这种方式效率不高,但是将将堪用。不幸地是,当 m 和 n 的值变大时,默克尔树的大小会呈指数增长。

BLS 使用了另一种方法,不过略复杂。我们需要一个普通哈希函数hash(x)(结果为一个数)和一个曲线哈希函数H(x)。开始多重签名时,还需要一个初始化过程,这之后,签名者之间就不再需要通信了,只需提供交易签名即可。

举个简单的例子,我们要创建一个 2-3 多重签名,3 个签名存储在不同的设备上(这个例子可以扩展为任意的 m-n 多重签名)。

初始化(生成成员密钥)

i = 1,2,3来表示集合中相应位置的设备,用pki表示私钥,用Pi = pki×G表示公钥。我们用前面说的方法来聚合公钥:

P = a1×P1+a2×P2+a3×P3, ai = hash(Pi, {P1,P2,P3})

现在,每个设备都需要对每个 i 签名,以证明该 i 是聚合公钥中的一员。将签名聚合后,保存在对应的设备中:

MKi = (a1_pk1)_H(P, i) + (a2_pk2)_H(P, i) + (a3_pk3)_H(P, i)

这个签名被称作“成员密钥”,稍后签名时我们会用到。每个成员密钥都是对消息体H(P,i)的 n-n 多重签名,即:

e(G, MKi)=e(P, H(P,i))

因为:

e(G\,Mki) = e(G\, (a1*pk1)*H(P\, i) + (a2*pk2)*H(P\, i) + (a3*pk3)*H(P\, i)) = e(G\, (a1*pk1 + a2*pk2 + a3*pk3)*H(P\, i))
= e(G*(a1*pk1 + a2*pk2 + a3*pk3)\, H(P\, i))
= e((G*a1*pk1 + G*a2*pk2 + G*a3*pk3)\, H(P\, i))
= e(P, H(P,i))

记住这个等式,稍后还会用到。它用来证明某个设备是多重签名中的合法参与者。

签名

假设只用私钥 pk1pk3 给交易签名,我们会生成 2 个签名 S1S3

S1 = pk1×H(P, m) + MK1, S3 = pk3×H(P, m) + MK3

将它们加起来,聚合成单一的签名和公钥:

(S’, P’) = (S1+S3, P1+P3)

P’S’,是为了强调它们只是由部分签名者参与计算的(公钥和签名),而不像 P 那样是由所有签名者参与计算的(公钥)。为了验证 2-3 多重签名,需证明如下等式成立:

e(G, S’) = e(P’, H(P, m)) * e(P, H(P, 1)+H(P, 3))

上面说过,成员密钥 MK1MK3 是对消息 H(P, 1)H(P, 3) (消息本身由聚合公钥P签名)的签名,所以有:

e(G, S’) = e(G, S1+S3)
= e(G, pk1H(P, m)+pk3×H(P, m) + MK1 + MK3)
= e(G, pk1
H(P, m)+pk3×H(P, m)) * e(G, MK1+MK3)
= e(pk1*G+pk3*G\, H(P\, m)) * e(P\, H(P\, 1) + H(P\, 3))
= e(P’, H(P, m)) * e(P, H(P, 1)+H(P, 3))

证明完毕。比 n-n 多重签名复杂一些,但仍然可以理解。

在比特币中的实现

要在比特币上部署一个 BLS 多签名钱包时,我们需要往某个地址(该地址由聚合公钥 P 生成)打钱。假设我们希望这是一个 2-n 多签名合约,那么可以用比特币的锁定脚本来描述,声明如下:

OP_2_
_OP_CHECK_BLS_MULTISIG

OP_2表示需要 2 个密钥进行签名。 这里没有指明总共有 3 个签名,因此它可以表示 2-3 或者 2-100 等不同的多重签名地址。如此,总签名数永远不会暴露。

为了花掉输出(output)地址中的钱,则需要提供 P’(公钥),S’(签名 )以及参与签名者的编号(这个例子中是 1 和 3)。解锁脚本如下:

OP_1 OP_3

脚本中有了这些信息,就足够用来验证交易了。其中,OP_1OP_3 告诉我们需要计算的曲线哈希为 H(P, 1)H(P, 3)

如此,对于任意 mn的多重签名,我们只需要以下信息:

  • 一个用在加锁脚本中的聚合公钥 P
  • 一个由部分参与者(m个)生成的聚合公钥 P’(用在解锁中);
  • 一个聚合签名 S’
  • 解锁要求的参与者数量m

一切简单而优美!

由于比特币地址通常只用一次,需要使用 BIP32 这种密钥推导算法生成新的私钥和地址。因此,每次生成新的私钥时,我们也需要生成对应的成员私钥,我不太喜欢这一点。为避免每次交易后都要初始化生成成员私钥,可以一次性地生成一批(比如 1000 个)成员私钥,毕竟每个私钥只占 32 字节。如此,当 1000 个地址用完后,我们才需要再次进行初始化。

缺点

鉴于大家在评论和 twitter 的提醒,我认识到有些地方我考虑欠周,会让你们误以为 BLS 签名算法是完美的。它并不完美。谢谢你们的提醒!

我完全忽略了配对计算的高复杂度。我们曾认为配对函数e(P, Q)既高效又安全,实际上它并不完全是。

配对函数并不那么高效

BLS 签名验证的复杂度要比 ECDSA 高上一个数量级。 在验证区块中 1000 笔交易的聚合签名时,仍需要进行 1000 次配对计算,这可能比使用 ECDSA 时(对 1000 个单独签名进行验证)还要慢。唯一的好处在于,可以在区块中放更多笔的交易,毕竟聚合签名只占 32 字节。

与 BLS 不同,Schnorr 验证算法的效率很高,它可以把签名放一起验证,效率是 ECDSA 算法的三倍。这样,问题来了,效率和安全哪个对我们更重要?

想要安全,更难!

配对函数十分复杂,使用不当就会反受其累。一方面,我们希望用高效的配对函数来加快签名验证,另一方面,我们又希望密钥信息暴露越少越好。两者互相矛盾,我们需要异常小心地选择适宜配对的曲线。

有一种针对椭圆曲线加密体系的攻击,叫 MOV 攻击(用攻击发现者 Menezes、Okamoto 和 Vanstone 的名字命名),它能利用配对函数来危害系统安全。所以,使用配对函数必须万分小心。

总结

BLS 签名算法很出色——它能将区块中的签名聚合成单一签名; 能进行密钥聚合和 m-n 多重签名(无需额外通信);能避免使用随机数生成器。这些优点使它显得如此简单优雅。当然,它仍有改进空间,标准化和优化也尚需时日。但我希望有朝一日,它能变得足够好,可以被纳入比特币协议中。这样的话,我们不但能获得它出色的功能,还可享受体积更小、聚合度更强的签名算法带来的好处。

BLS 算法的第一作者 Dan Boneh,目前正投身于对加密货币的研究,这使我异常兴奋。他是一位杰出的密码学家,他所执教的密码学课程也很棒。在这里,我还要推荐下他尚未完成的密码学著作。相信不久的将来,他和他的团队会带来更多针对加密货币的有趣方案和协议改进。

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