什么是全同态加密（二）

话还是说回来，继续说全同态加密，否则讲格密码可以讲一千零一夜。那么30多年人们没有提出一个全同态加密方案，为什么Gtentry可以构造出来呢？

因为Gentry发现了一个方法：Boostrapping，该方法我把它称之为：同态解密。这个方法的作用是约减噪音。因为格上加密法案是噪音方案，即在密文中含有噪音，所以每次密文计算后，噪音都会增加，尤其是密文乘法导致噪音增长的非常快。即使你构造了一个具有同态性的加密方案，由于噪音增长，导致无法获得同态性。因此，约减密文计算后的噪音变得异常关键。当然在此之前应该构造一个具有同态性的方案。

Gentry是在格上首先构造一个具有同态性的加密方案，该方案能够做加法，也能够做乘法，但是只能做有限次的乘法。为什么呢？因为噪音的增长。噪音增长太快，使得无法继续密文计算。这样的方案称为：有限同态加密方案（Somewhat HE）。

如果想做更多的计算，怎么办呢？约减噪音，我想连小孩都会的有的常规想法。路线并不新颖，不知道是否让你失望了。关键是怎么约减？

Gentry观察到一个现象：如果解密的时候，输入的不是密文，而是对密文加密后的密文，同样，不是解密密钥，而是加密后的密钥，解密会输出什么东西呢？

答案：一个新的密文，该新密文依然是对原明文的加密。最重要的是新密文的噪音总是恒定的。

说到这里，你反应过来了么。这意味着每次密文计算后，如果使用同态解密操作，将会输出一个噪音恒定的新密文，这个新密文可以继续计算，计算后再同态解密，再计算，周而复始，无穷尽也，所谓任意计算实现了。

把密文再加密，密钥再加密后，输入到解密函数中，输出新的密文，这个方法就是Boostrapping技术，即：同态解密。

Gentry的论文，被号称是难以理解的。例如上面这个Boostrapping方法，当时我是理解的很久，因为它里面有很多技术细节。Gentry的博士论文也被号称没有几个人能够读懂。但是最后我是读懂了。

有了同态解密，全同态加密几乎被构造出来。几乎是因为Gentry构造的加密方案中，解密电路的深度太深，导致无法同态解密。为此，Gentry又发明出一个方法：压缩电路，将解密电路的复杂度降低，使得可以同态执行解密电路。你说复杂不复杂。

随后人们遵循Gentry 的思想提出了整数上的，小主理想上的，而且还进行了实现。但是依然很复杂。

然而，2012年有一个人Brakerski将全同态加密推上了顶峰，使之变的简单了，而且将全同态加密构件建在LWE问题之上。

LWE问题是一个格上的平均性困难问题，可以被归约到格上标准困难问题。也是抗量子的。目前主流的格上加密方案都是构建在LWE之上。

由于使用Boostrapping实现任意计算代价太高，而且现实中并不太需要任意计算，所以退而求其次，如果能够执行多项式深度的同态计算，也是能够满足大多数需求的。所以随后的LWE上的全同态加密不使用Boostrapping技术约减噪音，而是使用其它噪音约减技术，使得能够进行多项式深度的密文计算，代价大大降低了。

总之，目前只有在格上建立的全同态加密方案是安全的。建立的方法就是首先建立一个有限同态加密方案(SWHE)，然后使用噪音约减技术，使之成为一个能够执行多项式深度同态计算的方案，称之为层次型全同态加密。

全同态加密的效率也是飞速提高，目前执行一次乘法在毫秒级，密文与明文之比约为10^2。微软去年初在人工神经网络上执行密文计算，效果是令人满意的。

全同态加密目前处在工程化研究阶段，相信全同态加密很快就会进入实践。