比特币和以太坊网络中的交易数据通过一种称为椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）所产生的签名来进行验证，这种算法主要运用的是椭圆曲线和有限域。 签署交易和验证交易的过程是截然不同的。我们使用一个被称为私钥（private key）的工具来签署交易，而使用另一个被称为公钥（public key）的工具来验证交易。私钥是在创建钱包的过程中随机生成的。公钥是基于有限域上的椭圆曲线乘法利用私钥导出的,也就是说椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）就是用来产生公钥的算法。只有签署交易的人才知道私钥，而公钥可以被任何想要验证交易的人（即矿工）获取。椭圆曲线主要包含以下参数：一个方程式（an equation），一个素数模（a prime modulo）和一个具有素数阶的基点（a base point with a prime order）。椭圆曲线的方程为 y²=x³+ ax + b。（备注：素数也称质数，指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数，如2、3、5、7、11等都是质数）在比特币，以太坊，BKX，EOS，Litecoin和许多其他加密货币中，其使用的椭圆曲线为secp256k1，该曲线方程的形式为y²=x³+ 7 mod p。secp256k1曲线的素数模是2²⁵⁶–2³²–2⁹–2⁸–2⁷–2⁶–2⁴–1（或十六进制形式的FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE FFFFFC2F）。因为这个结果本质上是一个大素数，因此我们称之为素数模。实数域上的椭圆曲线如下所示： 基点G具有素数阶n，从图形化的角度来看，n可以被视为基点不断相加直到其斜率无穷大或者成为垂线的次数。因此，在选定基点时，我们要确保其阶数是大素数。 对secp256k1来说，基点G的压缩形式为：G = 02 79 BE667E F9DCBBAC 55A06295 CE870B07 029BFCDB 2DCE28D9 59F2815B 16F81798，并且G的阶数n为：n = FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE BAAEDCE6 AF48A03B BFD25E8C D0364141。要生成公钥，我们需要用私钥乘以G，即：Keypub = Keypriv×G通过私钥导出公钥并不困难。但是，Keypriv是一个非常大的数字。因此，想要通过公钥来获取私钥，并破解ECDSA算法，则需要进行计算 2¹²⁸个附加点的操作。对于普通计算机而言，这样的操作将花费超过100亿年，这是一个与整个宇宙的年龄相称的时间过程。在生成私钥和公钥后，我们必须使用私钥对交易进行签名。为此，我们需要完成以下操作：
计算z = hash( 交易 ) mod n；
选择随机整数k，其等于或大于1且小于或等于n-1（1≤k≤n-1）；
通过将k乘以G得到点(x, y)；需要注意的是，k 是一个临时的秘密值，其必须在步骤5之后立即销毁。泄漏秘密值 k 等同于泄漏私钥：如果攻击者知道 k 和签名，那么她（或他）就可以计算私钥。
计算r = x mod n。如果r = 0则返回步骤1；函数x mod p 仅返回除法的余数，例如78 mod 33 = 12 等同于 78 = (33*2)+12，98 mod 31 = 5 等同于 98 = (31*3)+5。注意，s 模 n的乘法逆表示为1/k mod n，并且1/k mod n 等于等式 kx = 1(mod n) 的解。这个方程在欧几里德算法的帮助下以下列方式求解：假设 s = 3且 n = 5，则方程显示为3x = 1(mod 5) ，或者利用欧几里德算法，得3x = b(mod 5) 。如果我们将其扩展到线性丢番图方程ax – by = c，或sx – ny = b，或 3x – 5y = 1，其中 x = 2且 y = 1(6–5=1) 中，那么 s-1将为2。
计算 s = (1/k mod n) × (z + r × Keypriv) mod n。如果s = 0，则返回步骤1；
计算对 (r, s) 将成为交易的签名。
在交易签名生成并被接收后，任何第三方都可以使用公钥通过以下方式对其进行验证：
确认签名元素，数字 r 和 s 均落在1到n-1的范围内；
计算 z = hash(交易) mod n；
计算 w = 1/s mod n；
计算 u = z × w mod n；
计算 v = r × w mod n；
计算点 (x, y) = (u × G) + (v × Keypub)；
确认 r = x mod n。 如果r≠x mod n，则验证的签名无效。
如上所述，ECDSA算法的安全性依赖于整数 k 的随机性以及使用普通算力在合理时间内不可能导出私钥的特性。 这种全新的加密方式赋予区块链技术最高级别的安全性，打破它的唯一方法是创建一个具有超过2000个量子比特算力的量子计算机——这种做法，至少在目前看来，是不可能的。
